C/C++ - Lo vedo ma non ci credo

Cercavo di realizzare un algoritmo che, dato un numero binario periodico -e quindi razionale-, lo trasformasse nell'equivalente rapporto tra interi e mi sono ritrovato a dimostrare una cosa che, se non smentita da un errore (o orrore) da me commesso, getta una luce sinistra sulla matematica:

dato un sistema di numerazione binario, poniamo:

x=1,1... un numero binario periodico;

si ha:

10x = 11,1... per cui:

10x-x=11,1...-1,1...-->x(10-1)=10-->10=1,1...
assurdo!

Questo passo (che è il passo che ti sorprende tanto), non l'hai dimostrato con i passi precedenti. Probabilmente l'algoritmo che hai creato ha qualche errore. Se lo posti possiamo provare a vedere dov'è il problema.

L'algoritmo non è stato ancora realizzato, mi sono accorto dell'incongruenza durante la preparazione teorica del lavoro (con carta e penna per intenderci).
Credo comunque che l'ultima uguaglianza sia conseguente delle precedenti espressioni, infatti:

10x-x=11,1...-1,1...

ed essendo:

x(10-1) = x (si tratta di numeri binari!)
11,1... - 1,1... = 10 (azzerando il periodo...)

si ha x = 10

ma io avevo posto x = 1,1...

da cui l'assurdo!

x(10-1) = x

A casa mia facendo la sotituzione => 10x - x = x

Il che e' un'equazione impossibile per tutti i valori di x diversi da zero.

Faccio notare che stiamo parlando di un'equazione in un sistema di numerazione binaria, per cui
10x-x=x è verificata per ogni x reale, in quanto corrisponde alla equivalente equazione
2x-x=x (ricordiamoci che in binario 10 corrisponde a 2, cioè a 0 volte 2 elevato 0 + 1 volta 2 elevato 1)

Comunque penso di aver trovato la soluzione: in realtà non è assurda l'uguaglianza 1.1... = 10 (sempre in binario!) perchè abbiamo:
1.1... = (in decimale) 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +... ma questa è una serie geometrica infinita convergente a 2 (cioè in bianario a 10).
Tornando al programma bisogna verificare che il periodo non sia composto esclusivamente di 1: in tal caso non abbiamo semplicemente un numero periodico in 'senso stretto' ma l'intero successivo alla parte intera nel numero dato (probabilmente non sarà formalmente esatto, matematicamente parlando, ma credo che sia proprio così.